अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ के नाभिलंब के एक सिरे (प्रथम चतुर्थांश में) पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ पर मिलती है। तो $(OA)^2 - (OB)^2$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूल बिंदु है।

माना एक रेखा $L_{1}$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की स्पर्श रेखा है और $L_{2}$ मूल बिंदु से गुजरने वाली और $L_{1}$ के लंबवत रेखा है। यदि $L_{1}$ और $L_{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $(x^{2}+y^{2})^{2} = \alpha x^{2}+\beta y^{2}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के बिंदु $(-4, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

यदि समीकरण $x^2 - 5x - 14 = 0$ का एक मूल अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अर्ध-संयुग्मी अक्ष की लंबाई है और दूसरे मूल का वर्ग अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष है,तो अतिपरवलय का वह फोकस जो धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,क्या है?

यदि $x=9$ अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ की स्पर्श जीवा (chord of contact) है,तो स्पर्श बिंदु में से एक पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $a$ और $b$ क्रमशः एक अतिपरवलय के अर्ध-अनुप्रस्थ और अर्ध-संयुग्मी अक्ष हैं,जिसकी उत्केंद्रता समीकरण $9e^2 - 18e + 5 = 0$ को संतुष्ट करती है। यदि $S(5, 0)$ एक नाभि है और $5x = 9$ इस अतिपरवलय की संगत नियता है,तो $a^2 - b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।